【模板】网络最大流

什么是网络流?

对于一张有向图 $G(V,E)$(网络),包含 $n$ 个点,$m$ 条边和源点 $S$,汇点 $T$。

其中的每条边 $(u,v)$ 都有一个容量 $c(u,v)$。这些容量 $c$ 构建了一张容量网络,边在网络中也称作

如何理解这些概念?

可以把它具体化为一个城市的水网,每根水管就是,水管的容量就是容量,当然,它不能传输大于容量的水,也就是流量不可能大于容量,自来水厂就是源点,你家就是汇点。源点的水可以理解为无限,但是运到你家的水是有限的。网络最大流就是让自来水厂,即源点用最大的功率往外运水,求此时你家也就是汇点收到的水。

为什么会出现不同的情况呢?因为每条边的容量是有限的,对应的,源点之外的点如果有多条出路,需要考虑把自己所能接收到的水以最优的方案分配到各条出路,使得最终汇点收到的水最多。

对于这样一个水网,即网络流模型,有三个性质:

1.容量限制。每条边的流量(实际流过的水)不大于该边的容量。设流量为 $f(x,y)$,那么则有 $f(x,y)\leq c(x,y)$

2.反对称性正向边流量等于反向边流量。即 $f(x,y)=-f(y,x)$。后面再细说。

3.流守恒。对于$G$中任意一个节点$u$,如果它不是源点或汇点,那么它到相邻节点的流量和为0。也就是流入多少水就会流出多少水。即$\forall u\in V-\{s,t\},\sum_{w\in V}f(u,w)=0$

这里的$f$函数即为流函数。如果我们能够构造合法的$f$函数使其满足以上三个性质,那这就是一个可行流。其中最大的可行流就是我们要求的最大流

*残量网络:即容量网络减去流函数,$c_f(u,v)=c(u,v)-f(u,v)$。其实就是在 $(u,v)$ 这条容量为 $c(u,v)$ 的边上,流过了 $f(u,v)$ 的水,还剩的残量 $c_f(u,v)$ 就是用容量减去流量。

接下来就是算法部分咯


$Edmonds-Karp$增广路算法

即 EK 算法。

所谓增广路,就是从 $S$ 到 $T$ 找到的一条路径上残量都大于 0 的一条路径。

暴力的 EK 算法选择了用 bfs 来寻找增广路。也就是让一股流从 $S$ 出发,一路寻找残量大于 0 的弧前进,直到到达 $T$。这样网络的流量就会增大。直到找不到一条增广路为止。

我们在搜索的时候,可以记录路径上最小的残量,这就是我们可以让网络的流量增大的值 $dis$。路径上所有的正向边都要减去 $dis$,反向边都要加上 $dis$。正向边要减比较容易理解,但是反向边加,就是因为上面的反对称性

为什么这么做?

一条边可能在多条增广路上,为了找到所有增广路使得全局最优,我们需要允许反悔。也就是如果当前正向边已经被包含在了某条已经找到的增广路中,但是如果把它包含在另一条增广路中,会使得网络流量增加的更多,那就肯定要选择更优的。

反向边的初始权值为 0。方向与原弧(边)相反。

什么是反悔?假设 $u$ 到 $v$ 原本的正边权是 $dis$,被增广之后正边权就更改为 $0$,反边权变为 $dis$。如果还要反过来回去的话便可以通过反边权回去。或者说是通过反向加压把一部分水可以压回去(?)

如果成功反悔,部分流量又会从反边权回到正边权,达到分流取得最优的目的。所以在 EK 算法中,我们要遍历所有正向边和反向边,增广最短的一条。

如何方便的在正向和反向之间跳转?我们可以把一对边存储在 $(i,i+1)$ 的位置,$i$ 从 1 开始。比如 $(1,2),(3,4)$ 等。这样对于任意一条边的编号 $p$,它的另一条边就是 $p\text{ xor }1$。

对于在路程中经过的点 $v$,为了便于更新正反边的值,我们记录一个 $pre_v=$ 当前遍历边的编号。每次增广之后,我们就可以对边权进行更新。

inline void ud(){
    int u=t;//从汇点出发,走反向边向源点出发
    while(u!=s){
        int i=pre[u];//被增广的边
        val[i]-=dis[t];
        val[i^1]+=dis[t];//正减反加
        u=to[i^1];//走反向边
    }
    ans+=dis[t];//汇点被增大的流量累加到答案中
}

但是 EK 算法是比较慢的($O(VE^2)$,能处理 $1e3-1e4$ 的数据),我们需要判重边来过掉这道板子题...

详细看看代码吧,主要是一点点细节的处理。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=2020;
const int M=20000;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int head[M],to[M],nxt[M],cnt=1;
ll val[M];
void add(int u,int v,ll w){
    to[++cnt]=v,nxt[cnt]=head[u],val[cnt]=w,head[u]=cnt;
    to[++cnt]=u,nxt[cnt]=head[v],val[cnt]=0,head[v]=cnt;
}
int n,m,s,t;
int f[N][N],vis[N],pre[N];
ll dis[N];
inline bool bfs(){
    memset(vis,0,sizeof vis);
    queue<int> q;
    vis[s]=1,dis[s]=INF;
    q.push(s);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
            int v=to[i];
            if((val[i]==0)||(vis[v]==1))continue;
            dis[v]=min(dis[u],val[i]);
            pre[v]=i,q.push(v),vis[v]=1;
            if(v==t)return 1;
        }
    }
    return 0;
}
ll ans;
inline void ud(){
    int u=t;
    while(u!=s){
        int i=pre[u];
        val[i]-=dis[t];
        val[i^1]+=dis[t];
        u=to[i^1];
    }
    ans+=dis[t];
}
signed main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v;
        ll w;
        scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w);
        if(!f[u][v]){
            add(u,v,w);
            f[u][v]=cnt;
        }
        else val[f[u][v]^1]+=w;
    }
    while(bfs()){ud();}
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

EK 算法时间复杂度上界达到了$O(VE^2)$,如果在完全图情况下,可以达到$O(V^5)$。它为什么这么慢?

让我们来看看 EK 的运行:

我们找到了一条 $s→t$ 的增广路,所以我们去更新...再找到一条 $s→1→t$ 的增广路...

不对啊,$s→2→t$ 也是一条增广路,但是要下一次搜索才能再增广到它,这样不是很浪费时间吗?

Dinic 算法应运而生。


$Dinic$算法

$Dinic$算法是 EK 算法的替代品

首先继承 EK 算法的优点:每次增广最短路,保留 bfs 。

然后引入分层图的概念。简单来说,一个点的层次$d[x]$就是到源点的最短路长度。满足 d[y]=d[x]+1 的边 $(x,y)$ 构成的图就是分层图。

比如在上图中,$1,2,3,4,5$都在同一层。

首先在残量网络(残量不为零的弧组成的网络)中用 bfs 求出节点的层次,构造分层图。

然后在分层图上用 dfs 进行增广。

我们可以发现,增广路之间是不会出现环的。否则一定能找到一种更优的选择。所以,只要在分层图上进行 dfs ,那么一定不会搜到一个环。

而且,在分层图上的弧都在一条残量网络的最短路上,这也为我们进行 dfs 提供了很便利的条件。

而且。。在分层图上找最短路,反向边都去和梁非凡共进晚餐了

所以,你只管开车,办法由老爹来想,你只管 dfs 就完事了。


我们来分析一下时间复杂度吧!

首先寻找最短路的 bfs 很好说。每次判断了下一个层次是否有增广路,上界也就 $O(V)$。

而 dfs 的复杂度不用说,我这种蒟蒻都知道是 O(V+E)。

所以它的时间复杂度是 $O(VE)$!比 EK 快太多了。

我们 Dinic 真的太厉害啦!

然而是假的。

不会真的有人觉得 $O(E)$ 就能找到一个层次的所有增广路吧,不会吧不会吧?

我们增广了 $S→2→3→6→T$ 这条路之后,难道就不会经过路径上的点了吗?

当然不是。我们还要增广 $S→1→3→4→T$。

所以 $vis$ 标记是肯定不能打的,这个 dfs 是指数级的,Dinic 就是个垃圾算法,大家散了吧。。

然而还是假的。

对于一个节点 $x$,当它在 dfs 时如果已经走到了第 $i$ 条边,前 $i-1$ 条边一定已经被塞满,所以下次再遍历经过 $x$ 的边时,就没有必要遍历前 $i-1$ 条边了。所以每次 dfs 都记录一个 $cur_u$ 初始为 $head_u$,并且在遍历到边 $i$ 的时候把 $cur_u$ 更新为 $i$。并且遍历边都从 $cur_u$ 而不是 $head_u$ 开始。

再来一个优化:

如果在同一轮 dfs 中,我们发现从 $u$ 到 $v$ 无法增广,那这个 $v$ 就是无用点,我们把它的层数改为极大值或者极小值,目的在于不会再被遍历。

加上了这两个优化,Dinic 就从一个垃圾的指数级搜索算法变成了一个 $O(V^2E)$,比 EK 降低了一个 $O(V)$ 左右的时间。而且它在二分图匹配问题中上界只 有$O(\sqrt V\times E)$。


$CODE$

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=2020;
const int M=20020;
int head[M],to[M],val[M],nxt[M],cnt=1;
void add(int u,int v,int w){
    to[++cnt]=v,val[cnt]=w,nxt[cnt]=head[u],head[u]=cnt;
}
int n,m,s,t;
int dis[N],cur[M];
inline bool bfs(){
    //memset(dis,0x3f,sizeof dis);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dis[i]=INF;
    queue<int> q;
    q.push(s);
    dis[s]=0,cur[s]=head[s];
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
            int v=to[i];
            if(val[i]>0&&dis[v]==INF){
                q.push(v);
                cur[v]=head[v];//当前弧优化 
                dis[v]=dis[u]+1;
                if(v==t)return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
inline int dfs(int u,int sum){
    if(u==t)return sum;
    int k,res=0;
    for(int i=cur[u];i&&sum ;i=nxt[i]){
        cur[u]=i;
        int v=to[i];
        if(val[i]>0&&dis[v]==dis[u]+1){//只遍历分层图
            k=dfs(v,min(sum,val[i]));
            if(k==0)dis[v]=INF;
            val[i]-=k;
            val[i^1]+=k;
            res+=k;
            sum-=k;
        } 
    }
    return res;
}
signed main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&s,&t);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,w;
        scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
        add(u,v,w);
        add(v,u,0);
    }
    int res=0;
    while(bfs()){res+=dfs(s,INF);}
    printf("%lld\n",res);
    return 0;
}
最后修改:2021 年 08 月 12 日
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