本文图源matrix67


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如图,有一个无限大的棋盘,棋盘左下角有一个大小为$n$的阶梯形区域,其中最左下角的那个格子里有一枚棋子。你每次可以把一枚棋子“分裂”成两枚棋子,分别放在原位置的上边一格和右边一格。(但如果目标位置已有棋子,则不能这样做)你的目的是通过有限次的操作,让整个阶梯里不再有任何棋子。

很明显,当n=1时,只需要进行一次操作,就可以达到目标。

当n=2时,下面是一种合法的方案。

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但经过尝试,我们发现无论如何也凑不出n=3时的答案。我们要想一个在阶梯内的棋子被移出去,就要保证上方和右方是空的,那就需要给它“开路”。最后棋子越来越多,是无法达到目标的。

让我们跟着大佬来证明一下。

对于每个格子赋一个权值。最左下角的是1,右上方一层是$\frac{1}{2}$,接着是$\frac{1}{4}$,以此类推。

首先证明当$n≥4$时无解。

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这就是$n=4$时的图。在这个图中,每次分裂在格子n上的点,会分裂到两个$n/2$的格子上。所以无论怎么分裂,所有棋子位置上的数值和恒为1。

阶梯内的数值和为$1+2*\frac{1}{2}+3*\frac{1}{4}+4*\frac{1}{8}=\frac{13}{4}$。

最下一排的数值和为$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...=2$,第二排是$1$,第三排是$\frac{1}{2}$...

于是整张棋盘的数值和就是$4$。

那么在空白区域的数值和就是$4-\frac{13}{4}=\frac{3}{4}$,就算装满这无限的空白区域也无法满足条件,故无解。

当$n>4$时,空白区域所能容纳的数值和越来越小,当然无解。


接下来就是$n=3$时的情况。

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按照上面的方法,会得到空白区域能容纳的数值和是$\frac{5}{4}$,貌似可以做到。

但是观察一下可以得知,第一排和第一列,始终只有一颗棋子。而要想对应的数字够大,我们就让这两颗棋子固定在第一排和第一列的$\frac{1}{8}$位置就好。那么剩余的两个$\frac{1}{16}+\frac{1}{32}...=\frac{1}{8}$的位置是无法放其他棋子的。所以把这些位置放满的最大数值和是$\frac{4}{5}-2*\frac{1}{8}=1$。

但是很明显,经过有限次操作是不可能放满中间那块无限的空间的。故无解。

所以这个游戏在$n>2$时是没有可实现的方案的。

最后修改:2020 年 10 月 09 日 02 : 42 PM