记录一些欧拉计划中题目的翻译和C++解法。

下拉右侧有问题目录,可以直接跳转指定问题。

Problem 1


3的倍数和5的倍数

如果我们列出10以内所有3或5的倍数,我们将得到3、5、6和9,这些数的和是23。

求1000以内所有3或5的倍数的和。


稍微容斥一下,发现可以用3的倍数和加上5的倍数和减去15的倍数和。

发现还是O(n)的,然后考虑到x的倍数把x提出来就是一个公差为1的等差数列的形式。

令$s(n)=1+2+...+n=\frac{n*(n+1)}{2}$那么n以内x的倍数和就可以表示为$x*s(n/x)$,于是得O(1)。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
    if(!b)return a;
    return gcd(b,a%b);
}
int s(int x){return x*(x+1)/2;}
int main()
{
    int a=3,b=5,n=999;
    int g=a*b/gcd(a,b);
    printf("%d\n",a*s(n/a)+b*s(n/b)-g*s(n/g));
}


Problem 2


偶斐波那契数

斐波那契数列中的每一项都是前两项的和。由1和2开始生成的斐波那契数列前10项为:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

考虑该斐波那契数列中不超过四百万的项,求其中为偶数的项之和。


依照题意暴力即可。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000010;
int f[N];
long long ans=2;
int main()
{
    int n=4000000;
    f[1]=1,f[2]=2;
    for(int i=3;;i++)
    {
        f[i]=f[i-1]+f[i-2];
        if(f[i]>n)break;
        if(f[i]%2)ans+=f[i];
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

problem 3


最大质因数

13195的所有质因数为5、7、13和29。

600851475143最大的质因数是多少?


考虑对这个数进行质因数分解,其实直接暴力试除就好了。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int get_max_prime(int x)
{
    int ans=-1;
    for(int i=2;i<=x&&x!=1;i++)
        while(x%i==0)x/=i,ans=max(ans,i);
    if(x!=1)ans=max(ans,x);
    return ans;
}
signed main()
{
    int n=600851475143;
    printf("%lld\n",get_max_prime(n));
}


Problem 4

最大回文乘积

回文数就是从前往后和从后往前读都一样的数。由两个2位数相乘得到的最大回文乘积是 9009 = 91 × 99。

找出由两个3位数相乘得到的最大回文乘积。


考虑暴力枚举每个三位数,判断回文就转成字符串整。注意稍微剪剪枝,跑得飞快。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000010;
long long ans=0;
int check(int x)
{
    int len=0;
    string a="      ";
    while(x)a[len++]=(x%10)+'0',x/=10;
    reverse(a.begin(),a.end());
    for(int i=0;i<len>>1;i++)
        if(a[i]!=a[len-i-1])return 0;
    return true;
}
int main()
{
    for(int i=999;i>=100;i--)
        for(int j=999;j>=100;j--)
            if(i*j<=ans)break;
            else ans=max(ans,1ll*check(i*j)*i*j);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}


Problem 5

最小倍数

2520是最小的能够被1到10整除的数。

最小的能够被1到20整除的正数是多少?


递推。

考虑最终的答案是1~20的积除以每两个的最大公约数。但是发现不用,就在累乘的过程中除以$gcd(ans,i)$就可以了。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n=20;
    long long ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans/=__gcd(ans,1ll*i);
        ans*=i;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}


Problem 6

平方的和与和的平方之差

前十个自然数的平方的和是$1^2+2^2+...+10^2=385$

前十个自然数的和的平方是$(1 + 2 + ... + 10)^2 = 55^2 = 3025$

因此前十个自然数的平方的和与和的平方之差是 3025 − 385 = 2640。

求前一百个自然数的平方的和与和的平方之差。


发现100很小,暴力就完了。

注意开longlong。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long ans;
int main()
{
    for(int i=1;i<=100;i++)
        ans+=i*i;
    cout<<5050*5050-ans;
    return 0;
}


Problem 7

第10001个素数

列出前6个素数,它们分别是2、3、5、7、11和13。我们可以看出,第6个素数是13。

第10,001个素数是多少?


跑一遍欧拉筛。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int pr[1000010],st[1000010],cnt;
int get(int n,int k)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i])st[i]=1,pr[++cnt]=i;
        if(cnt==k)return pr[k];
        for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]*i<=n;j++)
        {
            st[pr[j]*i]=1;
            if(i%pr[j]==0)break;
        }
    }
}
int main()
{
    printf("%d\n",get(1000000,10001));
    return 0;
}


Problem 8

连续数字最大乘积

在下面这个1000位正整数中,连续4个数字的最大乘积是 9 × 9 × 8 × 9 = 5832。

数字矩阵

73167176531330624919225119674426574742355349194934 96983520312774506326239578318016984801869478851843 85861560789112949495459501737958331952853208805511 12540698747158523863050715693290963295227443043557 66896648950445244523161731856403098711121722383113 62229893423380308135336276614282806444486645238749 30358907296290491560440772390713810515859307960866 70172427121883998797908792274921901699720888093776 65727333001053367881220235421809751254540594752243 52584907711670556013604839586446706324415722155397 53697817977846174064955149290862569321978468622482 83972241375657056057490261407972968652414535100474 82166370484403199890008895243450658541227588666881 16427171479924442928230863465674813919123162824586 17866458359124566529476545682848912883142607690042 24219022671055626321111109370544217506941658960408 07198403850962455444362981230987879927244284909188 84580156166097919133875499200524063689912560717606 05886116467109405077541002256983155200055935729725 71636269561882670428252483600823257530420752963450

找出这个1000位正整数中乘积最大的连续13个数字。它们的乘积是多少?


每次向后延伸13个数相乘求max。其实可以用队列来维护但我懒得处理0.

那么暴力就完了。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long ans;
string s="07316717653133062491922511967442657474235534919493496983520312774506326239578318016984801869478851843858615607891129494954595017379583319528532088055111254069874715852386305071569329096329522744304355766896648950445244523161731856403098711121722383113622298934233803081353362766142828064444866452387493035890729629049156044077239071381051585930796086670172427121883998797908792274921901699720888093776657273330010533678812202354218097512545405947522435258490771167055601360483958644670632441572215539753697817977846174064955149290862569321978468622482839722413756570560574902614079729686524145351004748216637048440319989000889524345065854122758866688116427171479924442928230863465674813919123162824586178664583591245665294765456828489128831426076900422421902267105562632111110937054421750694165896040807198403850962455444362981230987879927244284909188845801561660979191338754992005240636899125607176060588611646710940507754100225698315520005593572972571636269561882670428252483600823257530420752963450";
int main()
{
    int n=1000,k=13;
    for(int i=1;i<=n-k+1;i++){
        long long res=1;
        for(int j=0;j<k;j++)
            res*=(s[i+j]-'0');
        ans=max(ans,res);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

Problem 9

特殊毕达哥拉斯三元组

毕达哥拉斯三元组是三个自然数a < b < c组成的集合,并满足

$a^2+b^2=c^2$例如,$3^2+4^2=25+5^2$。

有且只有一个毕达哥拉斯三元组满足a+b+c=1000。求这个三元组的乘积abc。


暴力枚举a,b,令c=1000-a-b,判断是否满足$a^2+b^2=c^2$。而且注意到$a < b < c$,所以枚举a的上界为1000/3即可。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n=1000,ans=-1;
    for(int i=1;i<=n/3;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            int k=1000-i-j;
            if(i*i+j*j==k*k)
            {
                ans=i*j*k;
                break;
            }
        }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}


Problem 10

质数求和

所有小于10的质数的和是2+3+5+7=17。

求所有小于两百万的质数的和。


跑欧拉筛即可。

code


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2000010;
long long ans,cnt;
int st[N],pr[N];
int prime(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i])st[i]=1,pr[++cnt]=i,ans+=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<=n;j++)
        {
            st[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]==0)break;
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n=2000000;
    printf("%d\n",prime(n));
    return 0;
}


Problem 11

模拟题。

code


#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int a[110][110];
signed main()
{
    int n=20,ans=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%lld",&a[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            int a1=a[i][j]*a[i+1][j]*a[i+2][j]*a[i+3][j];
            int a2=a[i][j]*a[i][j+1]*a[i][j+2]*a[i][j+3];
            int a3=a[i][j]*a[i+1][j+1]*a[i+2][j+2]*a[i+3][j+3];
            int a4=a[i][j]*a[i-1][j+1]*a[i-2][j+2]*a[i-3][j+3];
            ans=max(ans,max(a1,max(a2,max(a3,a4))));
        }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}


Problem 12

高度可约的三角形数

三角形数数列是通过逐个加上自然数来生成的。例如,第7个三角形数是 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28。三角形数数列的前十项分别是:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...让我们列举出前七个三角形数的所有约数:

1: 1

3: 1,3

6: 1,2,3,6

10: 1,2,5,10

15: 1,3,5,15

21: 1,3,7,21

28: 1,2,4,7,14,28

我们可以看出,28是第一个拥有超过5个约数的三角形数。

第一个拥有超过500个约数的三角形数是多少?


数据较小,直接枚举三角形数,根号时间内算约数个数即可。

code


#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=70100000;
int check(int n)
{
    int ans=0;
    for(int i=1;i*i<n;i++)
        if(n%i==0)ans+=2;
    if((int)sqrt(n)*(int)sqrt(n)==n)ans++;
    return ans;
}
signed main()
{
    long long sum=0;
    for(int i=1;;i++)
    {
        sum+=i;
        if(check(sum)>500)
        {
            cout<<sum<<endl;
            return 0;
        }
    }
    return 0;
}


Problem 13

模拟题,数据看代码。

code

/*
37107287533902102798797998220837590246510135740250
46376937677490009712648124896970078050417018260538
74324986199524741059474233309513058123726617309629
91942213363574161572522430563301811072406154908250
23067588207539346171171980310421047513778063246676
89261670696623633820136378418383684178734361726757
28112879812849979408065481931592621691275889832738
44274228917432520321923589422876796487670272189318
47451445736001306439091167216856844588711603153276
70386486105843025439939619828917593665686757934951
62176457141856560629502157223196586755079324193331
64906352462741904929101432445813822663347944758178
92575867718337217661963751590579239728245598838407
58203565325359399008402633568948830189458628227828
80181199384826282014278194139940567587151170094390
35398664372827112653829987240784473053190104293586
86515506006295864861532075273371959191420517255829
71693888707715466499115593487603532921714970056938
54370070576826684624621495650076471787294438377604
53282654108756828443191190634694037855217779295145
36123272525000296071075082563815656710885258350721
45876576172410976447339110607218265236877223636045
17423706905851860660448207621209813287860733969412
81142660418086830619328460811191061556940512689692
51934325451728388641918047049293215058642563049483
62467221648435076201727918039944693004732956340691
15732444386908125794514089057706229429197107928209
55037687525678773091862540744969844508330393682126
18336384825330154686196124348767681297534375946515
80386287592878490201521685554828717201219257766954
78182833757993103614740356856449095527097864797581
16726320100436897842553539920931837441497806860984
48403098129077791799088218795327364475675590848030
87086987551392711854517078544161852424320693150332
59959406895756536782107074926966537676326235447210
69793950679652694742597709739166693763042633987085
41052684708299085211399427365734116182760315001271
65378607361501080857009149939512557028198746004375
35829035317434717326932123578154982629742552737307
94953759765105305946966067683156574377167401875275
88902802571733229619176668713819931811048770190271
25267680276078003013678680992525463401061632866526
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23053081172816430487623791969842487255036638784583
11487696932154902810424020138335124462181441773470
63783299490636259666498587618221225225512486764533
67720186971698544312419572409913959008952310058822
95548255300263520781532296796249481641953868218774
76085327132285723110424803456124867697064507995236
37774242535411291684276865538926205024910326572967
23701913275725675285653248258265463092207058596522
29798860272258331913126375147341994889534765745501
18495701454879288984856827726077713721403798879715
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34829543829199918180278916522431027392251122869539
40957953066405232632538044100059654939159879593635
29746152185502371307642255121183693803580388584903
41698116222072977186158236678424689157993532961922
62467957194401269043877107275048102390895523597457
23189706772547915061505504953922979530901129967519
86188088225875314529584099251203829009407770775672
11306739708304724483816533873502340845647058077308
82959174767140363198008187129011875491310547126581
97623331044818386269515456334926366572897563400500
42846280183517070527831839425882145521227251250327
55121603546981200581762165212827652751691296897789
32238195734329339946437501907836945765883352399886
75506164965184775180738168837861091527357929701337
62177842752192623401942399639168044983993173312731
32924185707147349566916674687634660915035914677504
99518671430235219628894890102423325116913619626622
73267460800591547471830798392868535206946944540724
76841822524674417161514036427982273348055556214818
97142617910342598647204516893989422179826088076852
87783646182799346313767754307809363333018982642090
10848802521674670883215120185883543223812876952786
71329612474782464538636993009049310363619763878039
62184073572399794223406235393808339651327408011116
66627891981488087797941876876144230030984490851411
60661826293682836764744779239180335110989069790714
85786944089552990653640447425576083659976645795096
66024396409905389607120198219976047599490197230297
64913982680032973156037120041377903785566085089252
16730939319872750275468906903707539413042652315011
94809377245048795150954100921645863754710598436791
78639167021187492431995700641917969777599028300699
15368713711936614952811305876380278410754449733078
40789923115535562561142322423255033685442488917353
44889911501440648020369068063960672322193204149535
41503128880339536053299340368006977710650566631954
81234880673210146739058568557934581403627822703280
82616570773948327592232845941706525094512325230608
22918802058777319719839450180888072429661980811197
77158542502016545090413245809786882778948721859617
72107838435069186155435662884062257473692284509516
20849603980134001723930671666823555245252804609722
53503534226472524250874054075591789781264330331690
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string a[110];
int d[510];
int main()
{
    int n=100,m=50,k=10;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        reverse(a[i].begin(),a[i].end());
    }
    for(int j=0;j<m;j++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            d[j]+=(a[i][j]-'0');
    for(int j=0;j<m*2;j++)
        d[j+1]+=d[j]/10,d[j]%=10;
    int st;
    for(st=m*2;st&&!d[st];st--);
    for(int j=st;j>st-k;j--)
        printf("%d",d[j]);
    return 0;
}


Problem 14

最长考拉兹序列

在正整数集上定义如下的迭代序列:

n → n/2 (若n为偶数)
n → 3n + 1 (若n为奇数)

从13开始应用上述规则,我们可以生成如下的序列:

13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1可以看出这个序列(从13开始到1结束)共有10项。尽管还没有被证明,但我们普遍认为,从任何数开始最终都能迭代至1(“考拉兹猜想”)。

从小于一百万的哪个数开始,能够生成最长的序列呢?

注: 序列开始生成后允许其中的项超过一百万。


爆搜记忆化剪枝。考虑对100w以下的数记忆化。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1000010;
int dp[N];
int res,ans;
int check(int n)
{
    if(n<N&&dp[n])return dp[n];
    if(n==1)return 1;
    if(!(n&1))return check(n>>1)+1;
    return check(n+(n<<1)+1)+1;
}
signed main()
{
    dp[1]=1;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        int now=check(i);
        dp[i]=now;
        if(now>res)res=now,ans=i;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}


Problem 15

网格路径

从一个2×2方阵的左上角出发,只允许向右或向下移动,则恰好有6条通往右下角的路径。

对于20×20方阵来说,这样的路径有多少条?


答案是$C^{20}_{40}$,其实就是在40次移动(向右或下)中任意选择20次向右(或向下)的方案数。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int C(int n)
{
    int fac=1;
    for(int i=n+1;i<=2*n;i++)
        (fac*=i)/=(i-n);
    return fac;
}
signed main()
{
    int n=20;
    printf("%lld\n",C(n));
    return 0;
}


Problem 16

幂的数字和

$2^{15}=32768$,而32768的各位数字之和是 3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26。

$2^{1000}$的各位数字之和是多少?


考虑高精度乘个一千次即可。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=500;
int a[N];
long long ans;
int main()
{
    a[1]=1;
    int n=1000,m=450;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
            a[j]<<=1;
        for(int j=1;j<=m;j++)
            a[j+1]+=a[j]/10,a[j]%=10;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        ans+=a[i];
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}


Problem 17

表达数字的英文字母计数

如果把1到5写成英文单词,分别是:one, two, three, four, five,这些单词一共用了3 + 3 + 5 + 4 + 4 = 19个字母。

如果把1到1000都写成英文单词,一共要用多少个字母?

注意: 不要算上空格和连字符。例如,342(three hundred and forty-two)包含23个字母,而115(one hundred and fifteen)包含20个字母。单词“and”的使用方式遵循英式英语的规则。


模拟题,可以考虑根据组词习惯分成几个部分来解决。

code

#include<bits/stdc++.h>
int ud100[20]={0,3,3,5,4,4,3,5,5,4,3,6,6,8,8,7,7,9,8,8};
//不会单独出现0 
int ov100[10]={0,0,6,6,5,5,5,7,6,6};
//x十部分(20~90) 
int len(int x)
{
    if(x<20)return ud100[x];
    else if(x<100)return ud100[x%10]+ov100[x/10];//十位+各位 
    else if(x<1000)
    {
        if(x%100==0)return ud100[x/100]+7;//整百就数字+hundred(7)
        else return ud100[x/100]+len(x%100)+10;
        //否则就整百+非整百+hundred(7)+and(3) 
    }
    else return 11;//唯一一个one thousand 
}

int main()
{
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=1000;i++)
        sum+=len(i);
    printf("%d\n",sum);
    return 0;
}


Problem 18

DP入门的题,顺便也把67过了。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans;
int a[110][110];
int main()
{
    int n=15;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            a[i][j]+=max(a[i-1][j],a[i-1][j-1]);
            ans=max(ans,a[i][j]);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}


Problem 19

数星期日

下列信息是已知的,当然你也不妨自己再验证一下。

  • 1900年1月1日是星期一。
  • 三十天在九月中,
    四六十一也相同。

剩下都是三十一,
除去二月不统一。
二十八天平常年,
多加一天在闰年。

  • 闰年指的是能够被4整除却不能被100整除的年份,或者能够被400整除的年份。

在二十世纪(1901年1月1日到2000年12月31日)中,有多少个月的1号是星期天?


给的信息没啥用。。统计是从1901年开始的,给的是1900年的,所以从周二开始即可.

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int day[13]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
int main()
{
    int sum=0,now=1,y,m,d;
    int Y=2000; 
    for(y=1901;y<=2000;y++)
        for(m=1;m<=12;m++)
            for(d=1;d<=day[m]+(m==2)*((y%4==0)-(y%100==0)+(y%400==0));d++)
            {
                now++;
                if(now==7)
                {
                    now=0;
                    if(d==1)sum++;
                }
            }
    printf("%d\n",sum);
    return 0;
}


Problem 20

阶乘数字和

n! 的意思是 n × (n − 1) × … × 3 × 2 × 1

例如,10! = 10 × 9 × … × 3 × 2 × 1 = 3628800,所以10!的各位数字和是 3 + 6 + 2 + 8 + 8 + 0 + 0 = 27。

求出100!的各位数字和。


高精度即可。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000;
int a[N];
long long ans;
int main()
{
    a[1]=1;
    int n=100,m=1000;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
            a[j]*=i;
        for(int j=1;j<=m;j++)
            a[j+1]+=a[j]/10,a[j]%=10;
    }
    for(int i=1;i<m;i++)
        ans+=a[i];
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}


Problem 21

亲和数

记d(n)为n的所有真因数(小于n且整除n的正整数)之和。
如果d(a) = b且d(b) = a,且a ≠ b,那么a和b构成一个亲和数对,a和b被称为亲和数。

例如,220的真因数包括1、2、4、5、10、11、20、22、44、55和110,因此d(220) = 284;而284的真因数包括1、2、4、71和142,因此d(284) = 220。

求所有小于10000的亲和数的和。


考虑如何线性筛出d(x),即x的约数和。

首先,对于任意一个正整数n,我们有惟一分解定理$n=p_1^{w_1}*p_2^{w_2}*...*p_k^{w_k}$,其中p为质数。

并且我们有计算d(x)的方法,$d(x)=(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{w_1})*(1+p_2+...+p_2^{w_2})*...*(1+p_k+...+p_k^{w_k})$。

接下来把目光转到线性筛中。

对于质数i,我们显然有d(i)=i+1。

对于 i%pr[j]!=0,即 pr[j]i*pr[j]的最小质因子,我们显然有 d(i*pr[j])=d(i)*(pr[j]+1),其实就是上面的公式多了一个第一项 $p_1$。

对于 i%pr[j]==0,即 pr[j]i的最小质因子,也就是上面公式的第一项的$w_1$增加了1,这里的p1就是pr[j],我们显然有$d(i*pr[j])=d(i)/(1+p_1+...+p_1^{w_1})*(1+p_1+...+p_1^{w_1}+p_1^{w_1+1})$。

我们发现d的公式计算中的第一项出现了,于是考虑多维护这样一个g(x),表示d(x)计算式中的第一项即$(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{w_1})$。

那么对于质数,显然有 g(i)=i+1

对于 i%pr[j]!=0,有 g(i*pr[j])=pr[j]+1

对于 i%pr[j]==0,有 g(i*pr[j])=g(i)*pr[j]+1

那么此时我们也可以表达 d(i*pr[j])=d(i)/g(i)*g(i*pr[j])

code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int f[100010],g[100010];
int pr[100010],st[100010],cnt;
void get_f(int n)
{
    g[1]=f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i])st[i]=1,pr[++cnt]=i,g[i]=i+1,f[i]=i+1;
        for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]*i<=n;j++)
        {
            st[pr[j]*i]=1;
            if(i%pr[j]==0)
            {
                g[i*pr[j]]=g[i]*pr[j]+1;
                f[i*pr[j]]=f[i]/g[i]*g[i*pr[j]];
                break;
            }
            else
                f[i*pr[j]]=f[i]*f[pr[j]],
                g[i*pr[j]]=pr[j]+1;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i]-=i;
}
signed main()
{
    long long n=10000,ans=0;
    get_f(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(f[f[i]]==i&&i!=f[i])
        {
            ans+=i;
        }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}


Problem 22

姓名得分

在这个46K的文本文件names.txt(右击并选择“目标另存为……”)中包含了五千多个姓名。首先将它们按照字母序排列,然后计算出每个姓名的字母值,乘以它在按字母顺序排列后的位置,以计算出姓名得分。

例如,按照字母序排列后,位于第938位的姓名COLIN的字母值是3 + 15 + 12 + 9 + 14 = 53。因此,COLIN的姓名得分是938 × 53 = 49714。

文件中所有姓名的姓名得分之和是多少?


模拟题。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
string a[100010];
inline ll idx(string x)
{
    ll fac=0;
    for(int i=0;i<x.size();i++)
        fac+=(x[i]-'A'+1);
    return fac;
}
int main()
{
    freopen("E22_name.txt","r",stdin);
    int n=0;
    ll ans=0;
    while(cin>>a[++n]);
    sort(a+1,a+1+n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=1ll*(i-1)*idx(a[i]);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}


Problem 23

并非盈数之和

完全数是指真因数之和等于自身的那些数。例如,28的真因数之和为1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28,因此28是一个完全数。

一个数n被称为亏数,如果它的真因数之和小于n;反之则被称为盈数。

由于12是最小的盈数,它的真因数之和为1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16,所以最小的能够表示成两个盈数之和的数是24。通过数学分析可以得出,所有大于28123的数都可以被写成两个盈数的和;尽管我们知道最大的不能被写成两个盈数的和的数要小于这个值,但这是通过分析所能得到的最好上界。

找出所有不能被写成两个盈数之和的正整数,并求它们的和。


和上一道题一样,线性筛d即可。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=30000;
int len,ans;
int g[N],f[N],st[N],pr[N];
vector<int>res;
void get_f(int n)
{
    g[1]=f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i])st[i]=1,pr[++len]=i,g[i]=f[i]=i+1;
        for(int j=1;j<=len&&pr[j]*i<=n;j++)
        {
            st[pr[j]*i]=1;
            if(i%pr[j]==0)
                g[i*pr[j]]=g[i]*pr[j]+1,
                f[i*pr[j]]=f[i]/g[i]*g[i*pr[j]];
            else
                g[i*pr[j]]=pr[j]+1,
                f[i*pr[j]]=f[i]*f[pr[j]];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i]-=i;
}
int main()
{
    get_f(28123);
    for(int i=1;i<=28123;i++)
        if(f[i]>i)res.push_back(i);
    memset(st,0,sizeof st);
    for(int i=0;i<res.size();i++)
        for(int j=i;j<res.size();j++)
            st[res[i]+res[j]]=1;
    for(int i=1;i<=28123;i++)
        if(!st[i])ans+=i;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

最后修改:2020 年 11 月 09 日 11 : 01 AM